Tai, ką Jūs visada norėjote žinoti apie rentgenostruktūrinę analizę

... bet nedrįsote paklausti Difrakcijos eksperimentas Difrakcijos eksperimento schema

Sin banga

y = E sin(kx − ωt − φ)  (1)

Sin bangos anatomija

E^{λ}  x^{φ}

y = E sin(kx − ωt − φ) (2)  \begin{matrix}k =_{def} & \frac{2π}{λ} & (3) \\ ω =_{def} & \frac{2π}{T} & (4) \end{matrix}

Plokščios monochromatinės bangos erdvėje

Plokščia monochromatinė banga erdvėje gali būti aprašyta vectoriniu pavidalu:

y O k  x
E(r, t) = E_{0} sin(kr − ωt − φ)  (5)

Dviejųbangųsuperpozicija

Elektromagnetiniųbangųamplitudės sumuojasi:

E = E_{1} + E_{2}  (6)

El. m. bangųsklaidymas elektronu

Thomsonas parodė, kad:

k  e^{−} k′
\begin{matrix}E_{1}(R, t) = E_{1} sin(k′R − ωt − Δφ) & (7) \\ E_{1} = E_{0} \frac{1}{R} \frac{e^{2}}{mc^{2}} sin ϕ = E_{0} \frac{A}{R} & (8) \end{matrix} \begin{aligned}m_{p^{+}} & ≈ 1800 · m_{e^{−}} \\ I_{1} & ≈ 2% · I_{0} \end{aligned}

El. m. bangųsklaidymas pavyzdžiu

k′^{k′}  ^{R_{1}}^{R_{2}}^{Δr}^{k}^{k}^{r_{2}}^{x}^{y}  ^{r_{1}}^{O}  ^{E_{0} sin(kr_{1} − ωt)}  ^{E_{0} sin(kr_{2} − ωt)}  ^{E_{Σ}} R = R_{1} ≈ R_{2} E^{1,2} = E^{0}^{\frac{A}{R}}^{E_{1} sin(kr_{1} + k′R_{1} − ωt − Δφ)}^{E_{2} sin(kr_{2} + k′R_{2} − ωt − Δφ)}

E_{Σ} = E_{1} sin(kr_{1} +k′R_{1} −ωt−Δφ)+E_{2} sin(kr_{2} +k′R_{2} −ωt−Δφ) (9)

Kompleksinės eksponentės

Skaičiavimams patogiau naudoti ne sinusus ir kosinusus, o kompleksines eksponentes

e^{ix} = cos x + i sin x  (10)

Susitarkime vietoj sin rašyti kompleksinę eksponentę, atsimindami, kad mūsų“tikroji” banga yra šios eksponentės menamoji dalis. Arba realioji. Jeigu mums tai iš viso svarbu...

Prisiminimai: kompleksiniai skaičiai ...

φ ^{z} ^{1}^{i}  Re Im  ^{i^{2} = −1}^{z = a + ib}^{|z|}^{0}  ^{a}^{b}

z = a + ib  |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}  tan φ = \frac{b}{a}
z^{∗} = a − ib  |z|^{2} = z · z^{∗}

Prisiminimai: kompleksiniųskaičiųvektorinis pavidalas ...

i^{0} Im  Re^{z}^{z_{2}}^{φ_{2}}^{φ_{1}}  ^{z_{1}} ^{1}

z = z_{1} + z_{2} = a + ib = (a_{1} + a_{2}) + i(b_{1} + b_{2})  (11)
z_{1}z_{2} = (a_{1} + ib_{1})(a_{2} + ib_{2}) = (a_{1}a_{2} − b_{1}b_{2}) + i(a_{1}b_{2} + a_{2}b_{1}) (12)

Oilerio (Euler) formulės įrodymo eskizas...

e^{ix} = cos x + i sin x

sin x = x − \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{5!} x^{5} − ⋯ + (−1)^{k} \frac{1}{(2k + 1)!} x^{2k+1} + …
i sin x = ix + \frac{1}{3!} (ix)^{3} + \frac{1}{5!} (ix)^{5} + ⋯ + \underbrace{(−1)^{k}i^{−2k−1}i}_{=1} \frac{1}{(2k + 1)!} (ix)^{2k+1} + …

cos x = 1 − \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4} − ⋯ + (−1)^{k} \frac{1}{(2k)!} x^{2k} + …

= 1 + \frac{1}{2!} (ix)^{2} + \frac{1}{4!} (ix)^{4} + ⋯ + \underbrace{(−1)^{k}i^{−2k}}_{=1} \frac{1}{(2k)!} (ix)^{2k} + …

e^{x} = 1 + \frac{1}{1!} x + \frac{1}{2!} x^{2} + ⋯ + \frac{1}{k!} x^{k} + …
e^{ix} = 1 + ix + \frac{1}{2!} (ix)^{2} + \frac{1}{3!} (ix)^{3} + \frac{1}{4!} (ix)^{4} + ⋯ + \frac{1}{k!} (ix)^{k} + …

Kompleksiniųskaičiųužrašymas eksponentėmis

φ  ^{1}^{i}  Re Im ^{|z|}^{0}  ^{a}^{b}  z = |z|e^{iφ}

|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}  a = |z| cos φ  b = |z| sin φ

z = a + ib = |z| cos φ + i|z| sin φ = |z|(cos φ + i sin φ) = |z|e^{iφ}

Naudingos eksponenčiųsavybės

e^{a}e^{b} = e^{a+b}  (13)

e^{ix}e^{iφ} = e^{i(x+φ)}  (14)

Fazės postūmis

Re Im  ^{φ}^{0} ^{i}  ^{1}^{z = |z|e^{iφz}}^{z_{1} = ze^{iφ}}^{φ}^{φ_{z}}  ^{e^{iφ}}

z_{1} = ze^{iφ} = |z|e^{iφ_{z}}e^{iφ} = |z|e^{i(φ_{z}+φ)}  (15)

Dviejųeksponenčiųsudėtis

e^{ix} + e^{iy} = e^{ix}(1 + e^{i(y−x)})

= e^{ix}e^{i \frac{y−x}{2}} (e^{−i \frac{y−x}{2}} + e^{i \frac{y−x}{2}} )

= e^{i2 \frac{x}{2}} e^{i \frac{y−x}{2}} (cos \frac{y − x}{2}−i sin \frac{y − x}{2} + cos \frac{y − x}{2}+i sin \frac{y − x}{2})

= e^{i \frac{x+y}{2}} · 2 cos \frac{y − x}{2}  (16)

Amplitudės kvadratas

let

z = |z|e^{iφ},  (17)

then

z · z^{∗} = |z|e^{iφ} · |z|e^{−iφ}

= |z|^{2}\underbrace{e_{i(φ−φ)}^{=0}}_{=1}

= |z|^{2}  (18)

Bangos vaizdavimas eksponente

E sin(kr − ωt) = Im(Ee^{i(kr−ωt)})  (19)

E sin(kr − ωt − φ) = Im(Ee^{i(kr−ωt−φ)})  (20)
= Im(Ee^{−iφ}e^{i(kr−ωt)})  (21)

E_{1} sin(kr − ωt − φ_{1})+
E_{2} sin(kr − ωt − φ_{2}) = Im(E_{1}e^{i(kr−ωt−φ_{1})} + E_{2}e^{i(kr−ωt−φ_{2})})
= Im((E_{1}e^{−iφ_{1}} + E_{2}e^{−iφ_{2}})e^{i(kr−ωt)}) (22)

Vėl pavyzdžio sklaidymas

eksponentinis pavidalas:

k′^{k′}  ^{R_{1}}^{R_{2}}^{Δr}^{E_{0}e^{i(kr_{1}−ωt)}}  ^{E_{1}e^{i(kr_{1}+k′R_{1}−ωt−Δφ)}} ^{E_{Σ}} R = R_{1} ≈ R_{2} E^{1,2} = E^{0}^{\frac{A}{R}}^{r_{2}}  ^{E_{0}e^{i(kr_{2}−ωt)}}^{k}^{k} ^{r_{1}}  ^{E_{2}e^{i(kr_{2}+k′R_{2}−ωt−Δφ)}}
E_{Σ} = E_{1}e^{i(kr_{1}+k′R_{1}−ωt−Δφ)} + E_{2}e^{i(kr_{2}+k′R_{2}−ωt−Δφ)}  (24)

Dviejųmonochromatiniųbangųsudėtis

E_{1}(R_{1}, t) = E_{1}e^{i(kr_{1}+k′R_{1}−ωt−Δφ)}

= \underbrace{E_{0} \frac{A}{R}e^{−iΔφ}e^{−iωt}}_{=_{def} E′_{0}}e^{i(kr_{1}+k′R_{1})}

= E′_{0}e^{i(kr_{1}+k′R_{1})}  (25)
E_{2}(R_{2}, t) = E′_{0}e^{i(kr_{2}+k′R_{2})}  (26)

\begin{aligned}E_{Σ} & = E′_{0}e^{i(kr_{1}+k′R_{1})} + E′_{0}e^{i(kr_{2}+k′R_{2})} \\ & = E′_{0}[e^{i(kr_{1}+k′R_{1})} + e^{i(kr_{2}+k′R_{2})}] \\ & = E′_{0}e^{i(kr_{1}+k′R_{1})}[1 + e^{i(kr_{2}−kr_{1}+k′R_{2}−k′R_{1})}] \end{aligned}  (27)

Dviejųmonochromatiniųbangųsudėtis (2)

\begin{aligned}E_{Σ} & = \underbrace{E′_{0}e^{i(kr_{1}+k′R_{1})}}_{=E′′_{0}}[1 + e^{i(kr_{2}−kr_{1}+k′R_{2}−k′R_{1})}] \\ & = E′′_{0}[1 + e^{i(kΔr+k′ΔR)}] \end{aligned}  (28)

Δr projekcija

r_{1}  R_{2} R_{1} k′ k′ k k Δrr_{2}  ΔR = R_{2} − R_{1} k̂′(Δr · k̂′)

k̂′ =\frac{k′}{k′}  ΔR = − k̂′(Δr · k̂′)

k′ΔR = −k′ · \frac{k′}{k′} (Δr · \frac{k′}{k′}) = −\frac{(k′ · k′)}{k^{′2}}(Δr · k′) = −k′Δr

k k′ Δr r_{1} r_{2}  s = k′ − k

\begin{aligned}E_{Σ} & = E′′_{0}[1 + e^{i(kΔr−k′Δr)}] \\ & = E′′_{0}[1 + e^{i(Δr(k−k′))}] \\ & = E′′_{0}[1 + e^{iΔrs}] \\ & = E′′_{0}[1·e^{iΔr_{0}s} + e^{iΔrs}] \end{aligned}  (29)

R_{1} R_{2}^{r}^{k}^{k}  ^{k′}^{k′} n_{1}e^{−} n_{2}e^{−} r_{2} r_{1}  E_{Σ}

\begin{aligned}E_{1+2} & = E′′_{0}[n_{1}e^{ir_{0}s} + n_{2}e^{irs}] \\ E_{Σ} & = E′′_{0} ∑_{k=1}^{N} n_{k}e^{ir_{k}s} \\ & = E′′_{0} ∑_{k=1}^{N} ρ_{k}ΔV_{k}e^{ir_{k}s} \end{aligned}  (30)

Furje (Fourier) transformacija

k′^{k′}^{r}  ^{E_{Σ}}^{r_{2}}^{k} ^{r_{1}}  ^{s}^{k}  ^{k} V

E_{Σ} = lim_{\begin{matrix}N→∞ \\ ΔV_{k}→0 \end{matrix}} E′′_{0} ∑_{k=1}^{N} ρ_{k}ΔV_{k}e^{ir_{k}s}  (31)

= E′′_{0} ∫_{V} ρ(r)e^{irs}dV  (32)

Furje transformacija (2)

k′^{k′}^{r}  ^{E_{Σ}}^{r_{2}}^{k} ^{r_{1}}  ^{s}^{k}  ^{k} V

S = \frac{s}{2π}  (33)

E_{Σ} = E′′_{0} ∫_{V} ρ(r)e^{2πirS}dV  (34)

Struktūriniai faktoriai

E_{Σ} = E′′_{0}\underbrace{∫_{V} ρ(r)e^{2πirS}dV}_{F (S)}  (35)

F[ρ()](S) = F (S) = ∫_{V} ρ(r)e^{2πirS}dV  (36)

Atvirkštinė Furje transformacija

let

F (S) = ∫_{−∞}^{+∞} ρ(r)e^{2πirS}dV  (37)

then

ρ(r) = ∫_{−∞}^{+∞} F (S)e^{−2πirS}dS  (38)

Furje transformacijos savybės

• Tiesiškumas

F[αρ_{1} + βρ_{2}] = αF[ρ_{1}] + βF[ρ_{2}]  (39)

• Postūmis

F[ρ(r − Δr)] = e^{2πi(ΔrS)} F[ρ(r)]  (40)

• Posūkis

r′ = ||R||r
ρ′(r) =_{def} ρ(r′) = ρ(||R||r)
F[ρ(||R||r)] = F (||R||S)  (41)

Dirako (Dirac) delta funkcija

x^{0} ^{δ(x)}^{y} T_{2} T_{1}

∫_{T_{1}} δ(x)f(x)dx =_{def} 0  (42)
∫_{T_{2}} δ(x)f(x)dx =_{def} f(0)  (43)
∫_{−∞}^{+∞} δ(x)f(x)dx =_{def} f(0)  (44)

Delta funkcijos savybės

δ(−x) = δ(x)  (45)
∫_{−∞}^{+∞} δ(x)dx = 1  (46)

∫_{−∞}^{+∞} δ(x − x_{0})f(x)dx = f(x_{0})  (47)

F[δ] = ∫_{−∞}^{+∞} δ(x)e^{2πixS}dx = e^{0} = 1  (48)

F^{−1}[1] = ∫_{−∞}^{+∞} e^{−2πixS}dS = δ(x)  (49)

F[1] = ∫_{−∞}^{+∞} e^{2πixS}dx = δ(S)  (50)

Konvoliucija (sąsūka)

(f ∗ g)(x) =_{def} ∫_{−∞}^{+∞} f(v)g(x − v)dv  (51)

Konvoliucija su delta funkcija

∗  =^{x}^{f(x)}  ^{x}  ^{x}^{f(x − Δx)}^{y}^{y}  ^{y}^{δ(x − Δx)}^{Δx}

f(x) ∗ δ(x − Δx) = ∫_{−∞}^{+∞} f(v)δ(x − v − Δx)dv = f(x − Δx) (52)

Konvoliucijos Furje transformacija

F[f ∗ g] = ∫_{−∞}^{+∞} ( ∫_{−∞}^{+∞} f(v)g(x − v)dv) e^{2πiSx}dx

= ∫_{−∞}^{+∞} ∫_{−∞}^{+∞} f(v)g(x − v)e^{2πiS(x−v)}e^{2πiSv}dvdx

= ∫_{−∞}^{+∞} f(v)e^{2πiSv}dv·

∫_{−∞}^{+∞} g(x − v)e^{2πiS(x−v)}d(x − v)  (53)
= F[f] · F[g]  (54)

Gardelės funkcija

x y δ(x) a 0

L(x) = ∑_{n=−∞}^{+∞} δ(x − an)  (55)

Kristalo aprašymas

x y δ(x) 0 a f(x)

f ∗ L = ∑_{n=−∞}^{+∞} f(x − an)  (56)

Kristalo el. tankio Furje transformacija

x y δ(x) 0 a f(x)

F[f ∗ L] = F[f] · F[L]  (57)
= F[ ∑_{n=−∞}^{+∞} f(x − an)]  (58)

= ∑_{n=−∞}^{+∞} F[f(x − an)]  (59)

Kristalo el. tankio Furje transformacija (2)

F[f ∗ L] = F[f] · F[L]  (60)
= F (S) · F[L]  (61)
= F[ ∑_{n=−∞}^{+∞} f(x − an)]  (62)

= ∑_{n=−∞}^{+∞} F[f(x − an)]  (63)

= ∑_{n=−∞}^{+∞} F (S)e^{2πiSan}  (64)

= F (S) ∑_{n=−∞}^{+∞} e^{2πiSan}  (65)

∑_{n=−∞}^{∞} f(x − an) =_{def} S(x)  (66)

= ∑_{n=−∞}^{∞} c_{n}e^{−2πi·n \frac{x}{a}}  (67)

c_{n} = \frac{1}{a} ∫_{−a/2}^{a/2} S(x)e^{2πi·n \frac{x}{a}} dx  (68)

= \frac{1}{a} ∫_{−a/2}^{a/2} ∑_{n=−∞}^{∞} f(x − an)e^{2πi·n \frac{x}{a}} dx  (69)

= \frac{1}{a} ∑_{n=−∞}^{∞} ∫_{−a/2}^{a/2} f(x − an)e^{2πi·n \frac{x}{a}} dx  (70)

= \frac{1}{a} ∫_{−∞}^{∞} f(x)e^{2πi·x \frac{n}{a}} dx  (71)
= \frac{1}{a}F (n/a)  (72)

c_{n} = \frac{1}{a}F (n/a)  (73)

∑_{n=−∞}^{∞} f(x − an) = ∑_{n=−∞}^{∞} c_{n}e^{−2πi·n \frac{x}{a}}  (74)

= \frac{1}{a} ∑_{n=−∞}^{∞} F (n/a)e^{−2πi·n \frac{x}{a}}  (75)

∑_{n=−∞}^{∞} δ(x − an) = \frac{1}{a} ∑_{n=−∞}^{∞} e^{−2πi·n \frac{x}{a}}  (76)

Gardelės Furje transformacija

∑_{n=−∞}^{∞} δ(x − an) = \frac{1}{a} ∑_{n=−∞}^{∞} e^{2πi·n \frac{x}{a}}  (77)

∑_{n=−∞}^{∞} δ(x − n/a) = a ∑_{n=−∞}^{∞} e^{−2πi·nax}  (78)

F[L] = F[ ∑_{n=−∞}^{∞} δ(x − an)]  (79)

= ∫_{−∞}^{∞} ∑_{n=−∞}^{∞} δ(x − an)e^{2πixS}dx  (80)

= ∑_{n=−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} δ(x − an)e^{2πixS}dx  (81)

= ∑_{n=−∞}^{∞} e^{2πianS}  (82)

= \frac{1}{a} ∑_{n=−∞}^{∞} δ(S − n/a)  (83)

Atvirkštinė gardelė, vienmatė

x y δ(x) 0 a f(x)

L(x) = ∑_{n=−∞}^{+∞} δ(x − an)  (84)

F[f ∗ L] = F[f] · F[L]  (85)
= F (S) · \frac{1}{a} ∑_{n=−∞}^{∞} δ(S − n/a)  (86)

Atvirkštinė gardelė, trimatė

L(x) = ∑_{m,n,p=−∞}^{+∞} δ(r − am − bn − cp)  (87)

L^{∗}(S) = F[L] = \frac{1}{V} ∑_{h,k,l=−∞}^{+∞} δ(S − ha^{∗} − kb^{∗} − lc^{∗})  (88)

a^{∗} = \frac{[b × c]}{V},  b^{∗} = \frac{[c × a]}{V},  c^{∗} = \frac{[a × b]}{V}  (89)
V = (abc) = (a · [b × c])  (90)

Lauės (Laue) sąlygos

F[ρ_{cryst}] = F[ρ ∗ L] = F[ρ] · F[L]  (91)
= F (S) · L^{⋆}(S)  (92)
= F (S) · \frac{1}{V} ∑_{h,k,l=−∞}^{+∞} δ(S − ha^{∗} − kb^{∗} − lc^{∗})  (93)

Matome, kad periodinio kristalo Furje transformacija nelygi nuliui tik tam tikroms vektoriaus S reikšmėms

(S · a) = h,  (S · b) = k,  (S · c) = l  (94)
h, k, l ∈ ℤ  (95)

Evaldo (Ewald) konstrukcija ir Evaldo sfera

\frac{1}{λ}  k 0  h